Оглавление

Так получилось, что мне посчастливилось поработать два года в очень интересном месте, в баннерной системе. Это интересней, чем казино, потому, что правила устанавливаешь ты, и прибыль (или убытки) тоже твои.

Чем глубже я погружался в логику работы системы, чем больше разговаривал с людьми, тем больше видел вопиющих ошибок. Причём, люди склонны совершать ошибки не там, где правит сложная математика и анализ, а как раз там, где ответ кажется очевидным.

Я стал коллекционировать эти ошибки и оказалось, что они все, по сути, делятся на два простых вида. Здесь я хочу разобрать эти ошибки. Думаю, мой рассказ будет полезен и тем, кто организует игры, и тем, кто играет в них.

Задача

Чтобы от чего-то оттолкнуться, давайте придумаем себе простую задачу.

Давайте рассматривать роддом и вести записи родившихся мальчиков и девочек. Возможно, мы даже будем устраивать розыгрыши и принимать ставки, но, как мы скоро увидим, тут не всё так просто.

Как интуиция обманывает нас

Интуитивно, любой понимает, что рождение мальчика и рождение девочки — равновероятны. (Давайте не будем вдаваться в тончайшие биологические детали. Если разница и существует, то она крошечна. На наши рассуждения она не повлияет.)

Из этого справедливого утверждения люди склонны делать разные не правильные выводы, обобщая его в двух направлениях.

Ошибки, при рассмотрении (достраивании) части последовательности

Это самые наивные ошибки, но даже опытные люди склонны их совершать, если ситуация чуть сложнее.

Суть проста. Вы видите, что последние N родившихся младенцев — мальчики, кто родится следующим: мальчик или девочка?

Для кого-то это покажется странным, но сколько бы мальчиков ни родилось до этого, это никак не влияет на пол следующего ребёнка.

Доказательство очень просто и содержится в самом условии: мальчики и девочки рождаются равновероятно.

Тут можно услышать возражение: как же так, вероятность того, что родится подряд десять мальчиков очень мала, а вероятность того, что к ним ещё прибавится и одиннадцатый — ещё меньше. Девочка должна родится с бОльшей вероятностью.

Но нет. Если у вас уже родились 10 мальчиков подряд, то возможны всего два последующих исхода:

Оба эти исхода равновероятны.

Или иначе: да, вероятность того, что родится подряд 10 мальчиков действительно очень мала, но вероятность, что подряд родится 11 мальчиков ровно в два раза меньше.

Людям трудно интуитивно сравнить эти две вероятности, поэтому они склонны делать ошибочные выводы.

Но это не самые интересные ошибки. Гораздо коварней…

…Ошибки, при рассмотрении свойств последовательностей

Отбросим наивные и надуманные искусственные ситуации типа «10 мальчиков подряд». Рассмотрим «естественный» ход событий. Тут больше соблазна полностью довериться интуиции, ведь это обыденные случаи, с которыми мы сталкиваемся каждый день.

Пусть у нас есть 20 подряд родившихся младенцев. Что вероятней: что мальчиков и девочек в них поровну (10 мальчиков и 10 девочек), или что детей одного пола ровно на одного больше, чем другого (9 одного пола и 11 — другого, не важно даже какого)?

Допустим, вам предложили бы сделать ставку, на что бы вы поставили?

Большинство людей ставит на «поровну». Весь их опыт подсказывает, что раз вероятности равны, то младенцев, скорее уж, одинаковое количество.

Но нет! Подвох состоит в том, что ситуация, когда количества младенцев именно равны (строго равны), не так уж и много. Давай посчитаем, сколькими способами реализуется каждая из ситуаций.

Количества равны: 20!/(10!*10!) = 184756.

А 11+9: 20!/(9!*11!)*2 = 335920. Здесь нам пришлось умножить на два, так как нам не важно, кого больше, мальчиков или девочек. Подходят обе ситуации.

Как видите, цифры говорят сами за себя. Неравное количество младенцев рождается почти в два раза чаще.

Подвох состоит в том, что люди склонны путать самый вероятный исход (10+10) и вероятность выполнения определённого условия (отличаются на единицу).

Действительно, вероятность появления равного количества детей разного пола — максимальна. Но есть и другие варианты. И указанная вероятность тем меньше, чем больше этих вариантов.

Например, вы рассматриваете 120 младенцев, и вас спрашивают, что вероятней, что детей одинакового пола будет поровну (60+60), или их количества различаются на 20 или более (50+70, 49+71,…)?

Интуиция подсказывает: 20 — это гигантский дисбаланс, это просто невероятно!

И тем не менее, 60+60 менее вероятно. Дело в том, что хоть ситуации 50+70, 49+71,… и маловероятны, но их досаточно много и, в сумме, они побеждают.

Всё это простые случаи, когда длина последовательности фиксирована (и вообще не велика), вариантов всего два (меньше быть просто не может), они равновероятны и никаких дополнительных условий нет. Когда ситуация становится чуть (или значительно) сложнее, интуиция может очень легко сыграть с вами злую шутку.

Никогда не доверяйте чутью, когда речь идёт о вероятности. Проверяйте с калькулятором даже самые очевидные гипотезы.