Оглавление

Комплексная размерность

Эта статья появилась в результате любопытной переписки с utemov@*. Спасибо ему за интересные мысли и вопросы.

Может ли формула для размерности дать комплексные корни?

На первый взгляд, формула для вычисления размерности может дать мнимые корни.

Приведу пример.

Допустим фрактал строится таким образом, что на каждом шаге итерации количество элементов удваивается и коэффициенты масштабирования для каждого элемента в новых парах таковы:

k1 = 2-1/2 ≈ 0.70711, k1 = 2-3/2 ≈ 0.35355

Вот как может выглядеть построение такого фрактала (разметка добавлена, чтобы было очевидно, что коэффициенты масштабирования выбраны именно указанные выше).

Процесс построения итерационного фрактала

По полученной ранее формуле размерность получается равной:

D ≈ 1.102926

Но к этому вопросу можно подойти и иначе.

Согласно формуле для размерности

k1D + k2D = 1

получаем в нашем случае

2-D/2 + 2-3D/2 = 1

Делая замену

x = 2-D/2

получаем кубическое уравнение:

x + x3 = 1

Решив его, можно получить D:

D = -2 * ln(x) / ln(2)

В нашем случае, уравнение имеет три корня (вычислены по формуле Кардано):

x1 ≈ 0.6823
x2 ≈ -0.3412 + 1.1615 * i
x3 ≈ -0.3412 - 1.1615 * i

что соответствует трём значениям размерности:

D1 ≈ 1.1029
D2 ≈ -0.5515 - 5.3567 * i
D3 ≈ -0.5515 + 5.3567 * i

Строго говоря, из-за логарифма, появляется слагаемое

±4 * π * i / ln(2)

и корней получается бесконечно много, но вернёмся к нашей тройке.

Первый (действительный) корень нам уже знаком, но появляются ещё два мнимых корня, которые удовлетворяют всем уравнениям и (казалось бы) могут претендовать на звание размерности.

Однако, давайте разберёмся, есть ли у комплексной размерности физический смысл?

Физический смысл комплексной размерности

Итак, вспомним, каков смысл размерности? Она связывает две другие характеристики: размер (L) и меру (M).

M = LD

Размер не может быть комплексным. Это просто расстояние измеренная линейкой. Мера, традиционно, тоже является действительной. По своему физическому смыслу она родственна массе.

Однако, если размерность становится комплексной, то и мера сразу же тоже становится комплексной.

Это выглядит как-то странно, хотя это никак не противоречит определению меры. Комплексная мера полностью сохраняет свойство аддитивности, а больше от неё ничего не требуется.

Стоит ли рассматривать комплексную размерность?

Итак, комплексная размерность приводит к появлению комплексной меры. Это несколько нетрадиционно, однако, никакого криминала в этом нет.

Если вы можете допустить существование комплексной меры, то можно рассматривать комплексную размерность. Но есть и другой вопрос: даст ли это рассмотрение вам какие-либо новые знания?

Видимо, ответ на последний вопрос будет отрицательным.

В данном случае переход к комплексной размерности и мере, сродни переходу к другой системе единиц в физике. Вы можете перейти от килограммов к граммам, это приведёт к некоторому изменению формул, но не даст вам никаких новых знаний. Все рассматриваемые величины изменятся так, что зависимости между ними сохранятся. Вы не получите новых зависимостей и не получите никаких новых знаний.

Точно так же вы могли бы, например, переформулировать таблицу умножения, домножив каждый множитель на i, а произведения на -1:

...    ...             ...              ...
...    3i * 5i = -15   3i * 6i = -18    ...
...    4i * 5i = -20   4i * 6i = -24    ...
...    5i * 5i = -25   5i * 6i = -30    ...
...    6i * 5i = -30   6i * 6i = -36    ...
...    ...             ...              ...

Такая таблица умножения абсолютно справедлива, но ценности в ней нет никакой.