Оглавление

Применение фракталов

Эта статья появилась в результате переписки с одним из моих читателей (paul.first@***). Спасибо ему за интерес и вопросы.

Re: Статья понравилась! А не могли бы вы сказать, чем актуальны фракталы?

Чем актуальны фракталы

Большинство систем в природе сочетают два свойства:

Это самые разные системы, начиная от кристаллов и просто кластеров (различного рода скоплений, таких как облака, реки, горы, материки, звёзды), заканчивая экосистемами и биологическими объектами (от листа папоротника до человеческого мозга).

Фракталы являются как раз такими объектами: с одной стороны — сложные (содержащие бесконечно много элементов), с другой стороны — построенные по очень простым законам. Благодаря этому свойству, фракталы обнаруживают много общего со многими природными объектами. Но фрактал выгодно отличается от природного объекта тем, что фрактал имеет строгое математическое определение и поддаётся строгому описанию и анализу.

Поэтому теория фракталов позволяет предсказать скорость роста корневых систем растений, трудозатраты на осушение болот, зависимость массы соломы от высоты побегов и многое другое.

Пример применения фракталов

Летят два облака. Первое отбрасывает тень площадью A, второе — B. Эти облака сливаются в одно. Какова будет площадь C тени этого нового облака?

Ответив на этот вопрос, можно уже делать выводы о том, какова же будет суммарная облачность.

Облака двумерные?

Если бы облака имели бы размерность 2 (то есть были бы плоскими), то они бы просто объединись и ответ бы был просто суммой

C = A + B

То есть два облака складываются как два куска обоев.

Но это не верно. Суммарное облако станет не только шире и длинней слагаемых, оно станет ещё и выше. При той же массе площадь будет меньше суммарной.

Рассматривая облака, уместно считать мерой массу, так как именно этот параметр лучше всего удовлетворяет определению меры.

Облака трёхмерные?

Если бы размерность облаков была бы 3 (то есть они бы были монолитные и без пустот), то ответ бы был

C3/2 = A3/2 + B3/2

То есть

C = (A3/2 + B3/2)2/3

Если справедливость этого выражения вызывает у вас сомнения, то предлагаю следующую аргументацию (мне бы не хотелось пускаться тут в точное доказательство). Давайте предположим, что облака имеют форму кубов. (Кубы — монолитные и трёхмерные объекты; с таким же успехом можно было бы взять шары, пирамиды или любые другие тела.) Пусть первое облако-куб имеет сторону a метров, а второе — b метров. Когда облака сложатся, то суммарное облако-куб будет иметь сторону c метров и объём равный сумме объёмов исходных облаков:

c3 = a3 + b3

Предположим, что площади теней кубов равны площадям их сторон (это не ограничивает общности рассуждений). Тогда для площадей имеем следующие выражения:

A = a2
B = b2
С = с2

В результате получаем выражение

C3/2 = A3/2 + B3/2

Но и этот ответ не верен, потому, что облака не монолитные.

Размерность облаков

Оказывается, что размерность облаков не целая — 2.3. Правильная формула такова:

C2.3/2 = A2.3/2 + B2.3/2

Как видите, у нас есть теория, описывающая объекты нецелой размерности и есть сами объекты и мы успешно применили теорию к этим объектам.

Конечно, одной этой формулы не достаточно для предсказания погоды. В реальности облака не только сливаются и разделяются, они появляются и исчезают, растут и уменьшаются, меняют свою структуру... Наша формула описывает лишь одну из составляющих всех возможных превращений. Но эту составляющую она описывает правильно.